Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c同时满足下列条件，1.f(-1)=0. 2.对于任意实数x，都有f(x)≥x

补充 3.当x属于（0，2）时，有f(x)≤（(x+1)/2)^2
1,求f(1)
2,求a.b.c

Answer 1

1.求f(1)利用两个性质2和3
对于任意实数x，都有f(x)≥x 得到：f(1)≥1
当x属于（0，2）时，有f(x)≤（(x+1)/2)^2 得到：f(1)≤1
两者一合就是：f(1)=1

2.首先代入f(-1)=0得到：a-b+c=0
接着代入f(1)=1得到：a+b+c=1
解得：b=1/2, a+c=1/2
性质2知道a>0(开口向上)
再利用性质3当x属于（0，2）时，有f(x)≤（(x+1)/2)^2
得到：ax^2+1/2 *x+c≤1/4 x^2+1/2 *x +1/4
接着:(a-1/4)x^2+c-1/4≤0
把a+c=1/2，转换为c=1/2 -a代入得到：
(a-1/4)x^2-(a-1/4)=(a-1/4)(x^2-1)≤0
由于对于当x属于（0，2）时，上式均成立
而x^2-1有正数有负数有0，所以，为使得其在（0，2）上恒成立
只能一种情况：就是a-1/4=0,0≤0，恒成立
所以，a=1/4
综上：a=1/4,b=1/2,c=1/4