Question

证明函数f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数

要详细的证明过程。

Answer 1

任取x1,x2>0且x2>x1
则
f(x2)-f(x1)
=(x2^2+1)-(x1^2+1)
=x2^2-x1^2
=(x2-x1)*(x2+x1)
因为x2>x1所以x2-x1>0，又因为x1>0,x2>0所以x1+x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0，f(x2)>f(x1)
由于x2和x1是任取的因此f(x)在(0,+∞)上是增函数

Answer 2

设0<x1<x2
则：f(x1)-f(x2)
=x1^2+1-x2^2-1
=(x1+x2)(x1-x2)
0<x1<x2
则，x1+x2>0,x1-x2<0
即f(x1)-f(x2)<0
则函数单增

Answer 3

证明：设0<x1<x2，则x1+x2>0,x1-x2<0.
f(x1)-f(x2) = (x1²+1)-(x2²+1) = x1²-x2² = (x1-x2)(x1+x2) < 0.
所以f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数

Answer 4

设0<a<b,
则f(b)-f(a)=b^2+1-a^2-1=b^2-a^2=(b+a)(b-a)>0
根据增函数的定义，即得到证明。

Answer 5

取任意X1、X2属于(0,+∞)，且X1<X2.
f（x1）-f（x2）=x1^2+1-x2^2-1=x1^2-x2^2<0,所以函数f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数

Answer 6

解一：作函数图象，f(x)=x平方+1的函数图象可由y=x平方函数图象沿y轴向上平移一个单位，是一y轴为对称轴，开口方向向上的抛物线，由图可知，函数f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数
解二：函数f(x)的导数（不知道您学过没，我也不知道是哪个阶段的内容）=2x，在(0,+∞)内，f(x)的导数=2x>0,故原函数是增函数