Question

设函数f(x)=ln(x+1),gn(x)=x-x^2/2+x^3/3........只要第三小题

设函数f(x)=ln(x+1),gn(x)=x-x^2/2+x^3/3........只要第三小题:比较ln2与gn(1)的大小，并说明理由，求过程

Answer 1

当x>0时，
令h(x)=f(x)-gn(x)
那么h'(x)=1/(x+1)-[ 1-x+x²-x^3+.......+(-1)^(n-1)x^(n-1)]
1,-x,x², -x^3,......,+(-1)^(n-1)x^(n-1) 为等比数列，公比为-x
所以
h'(x)=1/(x+1)- [1-(-x)^n]/(1+x) = (-x)^n/(1+x)
当n为奇数时，h'(x)=-x^n/(1+x)<0， h(x)为减函数
那么h(1)=ln2-gn(1)<h(0)=0
则ln2<gn(1)

当n为偶数时，h'(x)=x^n/(1+x)>0,h(x)为增函数，
那么h(1)=ln2-gn(1)>h(0)=0
则ln2>gn(1)