Question

一道几何数学题

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M,N
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²；
（2）当扇形CEF绕点C至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

(1)把△CAM旋转到△CBM',CA与CB重合。连结M'N.∠MCN=∠M'CN=45°,CM'=CM,△MCN≌△M'CN, 则MN=M'N. ∠M'BN=∠CAM+∠CBA=90°, MN²=M'N²=BN²+BM'²=AM²+BN²

(2)继续旋转，将△CBN旋转到△CAN',仿前面的思路证明,△MCN≌△MCN',得到MN=MN'.然后由勾股定理得到MN²=MN'²=AN'²+AM²=AM²+BN²