Question

为什么(AB)的对立事件=A的对立事件+B的对立事件？ 概率论对偶原理证明

Answer 1

一、设一个事件x∈（AB）的对立事件
那么根据交集的定义，x不可能同时属于A和B，所以x有两种可能
1、x不属于A，则x∈A的对立事件，而“A的对立事件”是“A的对立事件+B的对立事件”的子集，所以x∈A的对立事件+B的对立事件
2、x不属于B，则x∈B的对立事件，而“B的对立事件”是“A的对立事件+B的对立事件”的子集，所以x∈A的对立事件+B的对立事件
所以x必然属于“A的对立事件+B的对立事件”
即“（AB）的对立事件”是“A的对立事件+B的对立事件”的子集。
二、设一个事件x∈A的对立事件+B的对立事件的子集
那么根据并集的定义，x要么属于A的对立事件，要么属于B的对立事件（也可以同时属于两个集合）
1、当x∈A的对立事件时，x不属于A，所以x不属于AB，所以x∈（AB）的对立事件。
2、当x∈B的对立事件时，x不属于B，所以x不属于AB，所以x∈（AB）的对立事件。
所以x必然属于“（AB）的对立事件”。
所以“A的对立事件+B的对立事件”是“（AB）的对立事件”的子集
根据集合相等的定义“（AB）的对立事件）=“A的对立事件+B的对立事件”