Question

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为EF,CG是AB边上的高

（1）DE,DE,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明
(2）若D在底边的延长线上（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。

Answer 1

楼主第一问应修改为DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明

证明：
(1)DE,DF,CG关系为：DE＋DF＝CG
做AC边上的高BH
∵AB=AC
∴BH=CG
∵DE⊥AB,CG⊥AB
∴△BDE∽△BCG
∴BD/BC=DE/CG
即DE=(BD/BC)×CG
同理可证△CDF∽△CBH
∴CD/BC=DF/BH
即DF=(CD/BC)×BH
∴DE+DF=(BD/BC)×CG+(CD/BC)×BH=CG
(2)第一问的结论不成立
假设D在BC的延长线上存在以下关系
DE-DF=CG
做AC边上的高BH
∵AB=AC
∴BH=CG
∵DE⊥AB,CG⊥AB
∴△BDE∽△BCG
∴BD/BC=DE/CG
即DE=(BD/BC)×CG
∵DF⊥AC,BH⊥AC
∴△BCH∽△DCF
∴CD/BC=DF/BH
即DF=(CD/BC)×BH
∴DE-DF=(BD/BC)×CG-(CD/BC)×BH=CG
当D在CB延长线上存在以下关系
DF-DE=CG

Answer 2

第一问：CG＝DE＋DF
使用面积法证明。显然S△ABC＝S△ABD＋S△ACD
又S△ABC=AB×CG/2，S△ABD=AB×DE/2，S△ACD=AC×DF/2，于是AB×CG/2＝(AB×DE/2)＋(AC×DF/2)
注意AB＝AC，所以CG＝DE＋DF

第二问：
同样使用面积法证明
如果D在BC的延长线上，那么CG＝DE－DF（S△ABC＝S△ABD－S△ACD）
如果D在CB的延长线上，那么CG＝DF－DE（S△ABC＝S△ACD－S△ABD）

Answer 3

DE/CG=BD/BC 因为DE//CG
DE/CG=BD/BC成立 两者还是平行的