Question

证明向量组线性相关的充分必要条件是其中某个向量是其余向量的线性组

证明向量组线性相关的充分必要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合

Answer 1

证明方式如下：

假设向量组A线性相关，则有不全为0的数k1,k2,……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0。

因为k1,k2,……，km不全为0，不妨设k1不等于零。

所以a1=-1(k2a2+……+kmam)/k。

所以a1能由a2,a3,a4……am线性表示。

如果向量组A中有某个向量能由其余向量线性表示，。

不妨设am能由a1,a2……am-1线性表示。

既有h1,……hm-1使am=h1a1+……hm-1am-1。

所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0。

因为h1,h2，……，hm-1，-1这m个数不全为零（至少-1不等于0），所以向量组A线性相关。

扩展资料：

对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。

含有相同向量的向量组必线性相关。

增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）

一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

定理如下：

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。

参考资料来源：百度百科-线性相关

Answer 2

（这里的m-1全是下标）

如果向量组A线性相关，则有不全为0的数k1,k2,……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0
因为k1,k2,……，km不全为0，不妨设k1不等于零，
所以a1=-1(k2a2+……+kmam)/k
所以a1能由a2,a3,a4……am线性表示
如果向量组A中有某个向量能由其余向量线性表示，
不妨设am能由a1,a2……am-1线性表示
既有h1,……hm-1使am=h1a1+……hm-1am-1
所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0
因为h1,h2，……，hm-1，-1这m个数不全为零（至少-1不等于0），所以向量组A线性相关。