Question

已知函数f(x)=x的平方+ax+b,且对任意实数都有f（1+x）=f（1-x）成立。求a的值，和f（x）的单调区间

Answer 1

令x=1
则f(2)=f(0)
代入f(x)=x^2+ax+b
得4+2a+b=b
a=-2
f(x)=x^2-2x+b=(x-1)^2+b-1

对称轴为x=1,开口向上
当x<1时，f(x)为减函数
x>1时，f(x)为增函数

Answer 2

由f(1+x)=f(1-x)可得：
f(x)=x^2+ax+b的对称轴是x=1
∴f(x)的对称轴x=-a/2=1
∴解得：a=-2
∴f(x)=x^2-2x+b=(x-1)^2+b-1
由f(x)的图像可知：
x＜1时，f(x)递减
x≥1时，f（x)递增
∴f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(-∞,1)