Question

如图,在平行四边形abcd中,ab=4,ad=6,角abc=60度,点p是射线ad上的一个动点(与点a不

如图,在平行四边形abcd中，ab=4，ad=6，角abc=60度，点p是射线ad上的一个动点（与点a不重合），bp与ac相交于点e。设ap=x。 1.求ac的长， 2.如果三角形abp和三角形bce相似，请求出x的值。 3.当三角形abe是等腰三角形时，求x的值。

Answer 1

解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4× 32= 23BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4× 12=2
在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴ AC=AF2+FC2=(23)2+42=27（1分）
（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ BP=BG2+PG2=(23)2+(2+x)2=x2+4x+16（1分）
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴ ABBP=ECBC即 4x2+4x+16=6x+6×276
解得 x1=8，x2=-43（不合题意，舍去）
∴x=8（1分）