Question

关于定积分的数学题

Answer 1

设方程中的那个定积分∫f(x)dx为t
因为f(x)连续，所以可以对方程两边同时求定积分，区间为[0,1]
则有 t = arctan(1) - arctan(0) + t/4
(1/(1+x^2)的原函数是arctan(x), x^3的原函数是x^4/4）
即t = π/3
代入方程就是f(x)的式子了

Answer 2

约定:∫[a,b]表示[a,b]上的定积分

设∫[0,1]f(x)dx=A (A是常数)
f(x)=1/(1+x²)+Ax³
得A=∫[0,1]f(x)dx
=∫[0,1](1/(1+x²)+Ax³)dx
=∫[0,1](1/(1+x²))dx+∫[0,1](Ax³)dx
∫[0,1](1/(1+x²))dx+A∫[0,1]x³dx
而∫[0,1](1/(1+x²))dx=arctanx|[0,1]=π/4
∫[0,1]x³dx=(1/4)x^4|[0,1]=1/4
得A=(π/4)+(1/4)
解得 A=π/3
所以 f(x)=1/(1+x²)+(π/3)x³

希望能帮到你！