Question

第四题线性代数求行列式的值

Answer 1

当a=b时，按第1列（或第1行）展开，得到
Dn = 2aDn-1-a^2Dn-2
Dn - aDn-1 = a(Dn-1 - aDn-2) = ⋯ = a^n-2(D2 - aD1) = a^n
aDn-1 - a^2Dn-2 = a^n
⋮
a^n-2D2 - a^n-1D1 = a^n
上述等式累加得到，Dn - 2a^n= (n-1)a^n
Dn = (n+1)a^n

当a不等于b时，
按第1列展开，
Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2
则
Dn - aDn-1 = b(Dn-1 - aDn-2) = ⋯ = b^n-2(D2 - aD1) = b^n【1】
Dn - bDn-1 = a(Dn-1 - bDn-2) = ⋯ = a^n-2(D2 - bD1) = a^n【2】
【2】式乘以a-【1】式乘以b，得到
(a-b)Dn =a^n+1-b^n+1
Dn = (a^n+1-b^n+1)/(a-b)

Answer 2

按第一行展开，然后建立三项递推关系

追问

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