Question

已知a.b为正数，a+b=1,求证√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2

Answer 1

√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2
两边平方
A+1/2+B+1/2+2√((a+1/2)*(b+1/2))≤4
2√((a+1/2)*(b+1/2))≤2
√((a+1/2)*(b+1/2))≤1
因为A,B>0
所以中判渗型有 A+1/2+B+1/2>卖喊改=2√((a+1/2)*(b+1/2)
A+1/2+B+1/2=2
所以上述证明成立

Answer 2

两边平方
a+1/2+b+1/2+2√(a+1/2)(b+1/2)≤旅局4
√嫌镇茄(a+1/2)(b+1/芹察2)≤1
(a+1/2)(b+1/2)≤1
ab+(a+b)/2+1/4≤1
ab≤1/4
a(1-a)≤1/4
0≤a^2-a+1/4
0≤(a-1/2)^2