简单的导数问题。
2.求Y=X∧3 在X=1处的切线和法线方程
3.求Y=COSX的导数
4.求Y=SINX在点X= 派/4 和 派/2 处的切线斜率
简单吧？ 给过程，用基本的概念解，不要用我没见过的公式，今天才学导初的。
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要使用到的极限四则运算法则如下：
lim(A+B)=limA+limB
lim(A-B)=limA-limB
lim(A×B)=limA×limB
lim(A÷B)=limA÷limB(B≠0)
导数的定义为f'(x)=y'=lim(△y/△x)=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}
其中“lim”(limit,极限的意思)符号下面是要写上“△x趋近于0”这个东东的，为了打字输入方便，我统一给省略了。
1.对于y=1/x
y'=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}
=lim{[1/(x+△x)-1/x]/△x}
=lim{-△x/[△x×x(x+△x)]}
=lim{-1/[x(x+△x)]}
=-(1/x)^2
2.对于y=x^3
y'=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}
=lim{[(x+△x)^3-x^3]/△x}
=lim{[(x^3+3△x×x^2+3x×△x^2+△x^3-x^3]/△x}
=lim{[(3△x×x^2+3x×△x^2+△x^3]/△x}
=lim[(3x^2+3x×△x+△x^2]
=3x^2
3.对于y=sinx
y'=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}
y=lim{[sin(x+△x)-sinx]/△x}
=lim[(sinxcos△x+cosxsin△x-sinx)/△x]
=lim[sinx(cos△x-1)/△x]+lim[cosx(sin△x/△x)]
=lim[(sinx){-2[sin(△x/2)]^2}/△x]+cosx
=limsinx×lim[(cos△x-1)/△x]+cosx
=sinx×0+cosx=cosx
下面证明上面提到的“lim[(cos△x-1)/△x]=0”：
lim[(cos△x-1)/△x]=lim[{-2[sin(△x/2)]^2}/△x]
=lim{[sin(△x/2)/(△x/2)]^2}×lim△x/4
=1×0=0
4.y'=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}
y=lim{[cos(x+△x)-cosx]/△x}
=lim[(cosxcos△x-sinxsin△x-cosx)/△x]
=lim{[(cosx(cos△x-1)-sinxsin△x]/△x}
=lim[cosx(cos△x-1)/△x-sinx(sin△x/△x)]
=lim[cosx(cos△x-1)/△x-sinx(sin△x/△x)]
=lim[cosx(cos△x-1)/△x]-lim[sinx(sin△x/△x)]
=limcosx×lim[(cos△x-1)/△x]-limsinx×lim[(sin△x/△x)]
=cosx×0-sinx×1
=sinx
这里再次用到了“lim[(cos△x-1)/△x]=0”。
对于为什么有limsint/t=0(当t无限趋近于0时)，其实可以用极限的定义证明的，不过为了便于理解，我把y=sint/t的函数图像画出来，便于直观理解。
y'=-1x^-2=-1/x²,(y'表示y的导数)
∴y'(2)=-1/2²=-1/4,(y'(2)表示y在x=2处的导数)
2)y=x³
y'=3x²
y'(1)=3,即切线斜率为3
当x=1,y=1³=1
∴切线方程为y-1=3(x-1),直线的点斜式方程
3x-y-2=0
由於切线垂直法线,切线斜率乘以法线斜率=-1,设法线斜率为m,∴m·(3)=-1得m=-1/3
∴法线方程为y-1=(-1/3)(x-1),直线的点斜式方程
x+3y-4=0
3)y=cosx
y'=-sinx
详细过程是利用导数定义:
y'=lim[h→0] [cos(x+h)-cosx)]/h
=lim[h→0] {-2sin[(x+h+x)/2]sin[(x+h-x)/2]}/h,用和差化积公式cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
=lim[h→0] -[sin(x+h/2)sin(h/2)]/(h/2),上下除2
=-lim[h→0] sin(x+h/2)·sin(h/2)/(h/2)
=-sin(x+0)·1,公式lim[x→0] sinx/x=1
=-sinx
4)y=sinx
y'=cosx,用类似3)的方法求导,用和差化积公式sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]和lim[x→0] sinx/x=1
y'(π/4)=cos(π/4)=1/√2
y'(π/2)=cos(π/2)=0
∴y=sinx在点x=π/4及x=π/2的切线斜率分别为1/√2和0
