Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA，抛物线y=x^2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于P，顶点M到A点时停止移动。
（1）设抛物线顶点M的横坐标为m
①用m的代数式表示点P的坐标 ②当m为何值时，线段PB最短
（2）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标

Answer 1

24．（本题14分）
解：（1）设 所在直线的函数解析式为 ，
∵ （2，4），
∴ , ,
∴ 所在直线的函数解析式为 .…………………………………（3分）
（2）①∵顶点M的横坐标为 ，且在线段 上移动，
∴ （0≤ ≤2）.
∴顶点 的坐标为( , ).
∴抛物线函数解析式为 .
∴当 时， （0≤ ≤2）.
∴点 的坐标是（2， ）.…………………………………（3分）
② ∵ = = ， 又∵0≤ ≤2，
∴当 时，PB最短. ……………………………………………（3分）
（3）当线段 最短时，此时抛物线的解析式为 .……………（1分）
假设在抛物线上存在点 ，使 .
设点 的坐标为（ ， ）.
①当点 落在直线 的下方时，过 作直线 // ，交 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ 点的坐标是（0， ）.
∵点 的坐标是（2，3），∴直线 的函数解析式为 .
∵ ，∴点 落在直线 上.
∴ = .
解得 ，即点 （2，3）.
∴点 与点 重合.
∴此时抛物线上不存在点 ，使△ 与△ 的面积
相等.……………………………………………………………………（2分）
②当点 落在直线 的上方时，
作点 关于点 的对称称点 ，过 作直线 // ，交 轴于点 ，
∵ ，∴ ，∴ 、 的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线 函数解析式为 .
∵ ，∴点 落在直线 上.
∴ = .
解得： ， .
代入 ，得 ， .
∴此时抛物线上存在点 ，
使△ 与△ 的面积相等. …………………………………（2分）
综上所述，抛物线上存在点 ，
使△ 与△ 的面积相等.

Answer 2

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx， ∵A（2，4）， ∴2k=4， ∴k=2， ∴OA所在直线的函数解析式为y=2x； （2）∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， ∴y=2m（0≤m≤2）． ∴顶点M的坐标为（m，2m）， ∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m． ∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）， ∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．