Question

函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数,都有f(x+1)=f(x-1)成立,已知当x[1,2]时，f(x)=loga(x)

(1)求x属于[-1,1]时，函数f(x)的表达式
(2)求x属于[2k-1,2k+1](k属于Z)时函数f(x)的表达式
(3)若函数f(x)的最大值为1/2，在区间[-1,3]上，解关于x的不等式f(x)>1/4

Answer 1

（1） 因为f(x)是定义在R上的偶函数，故f(x-1)=f(1-x)=f(x+1),所以f(x)关于x=1对称,又由上式得f(x)=f(2-x)。因当x[1,2]时，f(x)=loga(x)，则
f(2-x)=loga(2-x),因为2-x属于[1,2]，则x属于[0,1]。由f(x)=f(2-x)得
f(x)=loga(2-x）。又f(x)为偶，则f(x)=f(-x),故x[-1,1]上，f(x)=f(-x)=loga(2+x)。分段表示之。
（2） 由（1）把定义域换成（2），f(2-x)换成f(2k-x)则成。
（3） 画出草图。则可得f(2)=1/2。则a=4。
可分别在【-1,1】【1,2】【2,3】上求f(x)>1/4
是x范围。（根2-2，2-根2），（根2,4-根2）