Question

用极坐标求积分怎么确定角度的范围！

双扭线(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2）第一象限的弧长用极坐标积分求解时，角度的范围，我知道是0~45°！但我要知道这个45°是怎么来的！

Answer 1

由于双纽线关于两坐标轴均对称,用两次奇偶对称性∫|y|ds=4∫ y ds 积分区域为第一象限部分,下面用极坐标双纽线极坐标方程为：r⁴=a²(r²cos²θ-r²sin²θ),即：r²=a²cos2θ两边对θ求导得：2rr'=-2a²sin2θ,即：r'=-(a²/r)sin2θ两边平方：(r')²=(a⁴/r²)sin²2θ,将r²=a²cos2θ代入得：(r')²=a²sin²2θ/cos2θds=√(r²+(r')²)dθ=√(a²cos2θ+a²sin²2θ/cos2θ)dθ=a√((cos²2θ+sin²2θ)/cos2θ)dθ=a√(1/cos2θ)dθy=rsinθ=a√(cos2θ)sinθ∫|y|ds=4∫ y ds 积分区域为第一象限部分=4∫[0--->π/4] a√(cos2θ)sinθ*a√(1/cos2θ) dθ=4a²∫[0--->π/4] sinθdθ=-4a²cosθ |[0--->π/4]=4a²(1-√2/2)=2a²(2-√2)

追问

但你没告诉我0~π/4怎么来的呢

Answer 2

因为方程可以化为r2=a2*cos2θ，而r2大于等于0，所以cos2θ大于等于0，得出θ小于等于45度