Question

谢谢各位帮忙啦！谢谢！要详细题解！

若非零函数f（x）对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)*f(b),且当X<0时，f(x)>1;
(1) 求证：f(x)>0;
(2) 求证：f(x)为减函数；
(3) 当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)*f(5-x*x)<=1/4.

Answer 1

f(-1)=f(0-1)=f(0)*f(-1) f(0)=1
设x>0，则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1 f(x)=1/f(-x)
当x<0时，f(x)>1；所以，当x>0时，0<f(x)<1；f(0)=1。
所以,f(x)>0

设x1<x2，则f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)=f(x1)*1/f(x2)=f(x1)/f(x2)
x1-x2<0 所以 f(x1-x2)>1 有因为f(x)>0，所以f(x1)>f(x2)
f(X)为减函数。

f(x-3)=f(x+1)*f(-4)=f(x+1)/f(4)=16f(x+1)
f(5-x*x)=f(4)*f(1-x*x)=1/16 * f((1-x)(1+x))=f(1-x)*f(1+x)/16
f(x-3)*f(5-x*x)=f(x+1)*f(1-x)*f(1+x)<=1/4
f(4)=f(2+2)=f(2)^2=1/16 f(2)=1/4 同理，f(1)=1/2 f(-1)=2
x=1，原式=1/16
x=0，原式=1/8
x=-1，原式=1/4
所以，x>=-1