Question

初三数学（急急急）

如图，三角形ABC中，I是内心，AI交BC于D，交三角形ABC的外接圆于E。
（1）求证：IE=CE=BE。
(2)若AB=4,AE=5,AC=2,求四边形ABEC的面积

Answer 1

连接IC，
因为I为内心，所以∠BAE=∠EAC, ∠BCI=∠ACI,
因为 同弧所对的圆周角相等，
所以∠EBC=∠EAC, ∠BAE=∠BCE,
所以∠EBC=∠BCE,所以BE=CE.
因为∠EIC=∠IAC+∠ICA, ∠ECI=∠ECB+∠ICD,
所以∠EIC=∠ECI,所以 EI=EC
所以BE=CE= EI

Answer 2

证明：晓得I就是圆心（由三角形外心的定义），则△ABE和△ACB是Rt△， AB⊥BE AC ⊥CE 而AE是角BAC平分线 所以 BE=EC,直角三角形ABE，I为AE中点，有AI=BI=EI 所以可证得 BE=EC=IE
(2)用余弦公式，设BE=x
cos角DAB=（4+25-x²）/2*2*5
cos角DAC=(16+25-x²)/2*4*5
两个方程，两个解
能求出每个边长
三边都知道了，面积就会了吧

或者可以利用海伦公式
s=根号下[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p＝(a+b+c)/2
因为IE=CE=BE，AB=4,AE=5,AC=2，AE=2IE，所以可以求出四边形四条边的长度，然后利用海伦公式，将三角形ABE和ACE的面积求出，然后相加就可以求出四边形的面积了。