Question

求证：函数f(x)=（1+x）/ 根号下x 在（1，正无穷）上是增函数

很急、坐等。

Answer 1

解：设X1>X2,且X1>1，X2>1，
则：F(X1)＝（1+X1）/根号下X1，F(X2)＝（1+X2）/根号下X2
那么：F(X1)-F(X2)＝（1+X1）/根号下X1－（1+X2）/根号下X2
＝（1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1/根号下X1X2
而：(1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1＝X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）
的平方/（1+X1）根号下X2+（1+X2）根号下X1
X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）的平方＝X2（1+2X1+X1的平方）—X1（1+2X2+X2的天方）＝X2+2X1X2+X2×X1的天方－X1－2X1X2－X1×X2的天方＝（X1－X2）（X1X2－1）
因为：X1>X2，所以（X1－X2）>0；X1>1，X2>1，所以（X1X2－1）>0，
即： （X1－X2）（X1X2－1）>0，X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）的平方>0,
因为：X1>1，X2>1，则：（1+X1）根号下X2+（1+X2）根号下X1>0
所以：(1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1>0

因为：X1>1，X2>1，则：根号下X1X2>0
所以:（1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1/根号下X1X2>0，
也就是：（1+X1）/根号下X1－（1+X2）/根号下X2>0,
即:F(X1)-F(X2)>0
所以:函数f(x)=（1+x）/ 根号下x 在（1，正无穷）上是增函数。

Answer 2

解：∵f(x)=(1+x)/√x的导数是f'(x)=(1/2)(x-1)/√x³
当x∈(1,+∞)时，有f'(x)>0
∴f(x)=(1+x)/√x在区间(1,+∞)上是(严格)增函数。