Question

高中数学题、关于函数的、高手来帮帮忙、很急。

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：①、f（x）在D内单调递增或单调递减；②、存在区间【a,b】是D的真子集，使f(x)在【a,b】上的值域为【a,b】；那么把该函数叫闭函数。

题目（1）求闭函数y=-x^3符合条件②的区间【a,b】
（2）判断函数f(x)=3/4x+1/x(x＞0)是否为闭函数？并且说明理由。

Answer 1

解：（1）可知y=-x^3在（-无穷，+无穷）上为单调递减的函数。
则只要满足：b=-a^3和a=-b^3
解可得：a=-1 b=1
即闭函数y=-x^3符合条件②的区间为【-1，1】
（2）函数f(x)=3/4x+1/x=7/4x, （x>0）
可知 函数f(x)在（0，+无穷）上位单调递减函数
假设f(x)在【a,b】上满足条件②，则有：
a=7/4b b=7/4a
得：ab=7/4 故在（0，+无穷）上，对任意满足ab=7/4的组合上，都能满足条件②
故：f(x)=3/4x+1/x(x＞0)为闭函数