Question

已知函数f(x)=a^x(a＞0，且a≠1）在区间【1，2】上的最大值为M，最小值为N

已知函数f(x)=a^x(a＞0，且a≠1）在区间【1，2】上的最大值为M，最小值为N
1，若M+N=6,求实数a的值
若M=2N，求实数a的值
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Answer 1

分类讨论：对底数a分别满足0<a<1和a>1时，函数的单调性不同.

1．当0<a<1时，函数f(x)=a^x在[1，2]上是减函数，
∴最大值M=f(1)=a，最小值N=f(2)=a²，
由题意，a+a²=6，
解得a= -3，或a=2，
与0<a<1不符，∴此时，a不存在；

当a>1时，函数f(x)=a^x在[1，2]上是增函数，
∴最大值M=f(2)=a²，最小值N=f(1)=a，
由题意，a²+a=6，
解得a= -3，或a=2，
又a>1，∴a=2，
综上，a=2；

2．同1。
当0<a<1时，函数f(x)=a^x在[1，2]上是减函数，
∴最大值M=f(1)=a，最小值N=f(2)=a²，
由题意，a=2a²，
解得a= 0，或a=1/2，
∵0<a<1，∴a=1/2；

当a>1时，函数f(x)=a^x在[1，2]上是增函数，
∴最大值M=f(2)=a²，最小值N=f(1)=a，
由题意，a²=2a，
解得a=0，或a=2，
又a>1，∴a=2，
综上，a=1/2，或a=2.

Answer 2

当a>1时
a^x为增函数。
a+a^2=6
a=2 或者a=-3舍去
当0<a<1时
a^x为减函数。。
a+a^2=6
a=2 或者a=-3 (都舍去)
综上所述得出a=2

a=2时M=4
N=2
M=2N
所以a=2满足条件。

Answer 3

第一问 a=2 应为M+N恒等于a+a^2 接个一元二次方程可得
第二问分情况讨论 当、0<a<1时 有a=0.5
当a>1是 有a=2

Answer 4

⑴无论a取＞1还是0＜a＜1，f(x)都是单调函数
∴M，N分别是x=1和2（或者2和1）的时候取得的a+a²
∴a+a²=6
解得a=2（a=-3舍去）
⑵当a＞1时
f(x)是增函数，∴M=a²，N=a，∴a²=2a，∴a=2，（a=0舍去）
当0＜a＜1时
f(x)是减函数，∴M=a，N=a²，∴a=2a²，∴a=1/2，（a=0舍去）
综上a的值为2或1/2