Question

行列式题目解答询问 谢谢！！！！！！！！！！！！

a b
a b
a b
` `
` `
ab
ba
` `
` `
b a
b a

第一行到最中心的ab 一共是n行
最后一行到最中心的ba也是一共是n行

求计算的方法

Answer 1

这题使用基本的行列式变换方法即可

将行列式变换成上三角形式：

a,b如果有一个为0，则显然可以算出结果为b^2n或者a^2n

a,b都不为0 的时候：

将第一行乘以(-b/a) ，加到最后一行，则最后一行的第一个b被消去
变成：0 ……………………………………a-b^2/a

类似，将第2、3、。。。n行都乘以(-b/a)，加到下面对称的第2n-1,2n-2...n+1行

则整个行列式变为

a b
a b
a b
a b
a b

………………
a b
0 a-b^2/a
0 a-b^2/a
0 a-b^2/a

……………………
0 a-b^2/a

所以行列式的值为a^n(a-b^2/a)^n

整理得 a^2n-b^2n

另外，这题有一个比较简单，但是要求掌握分块矩阵运算方法：

首先有如下命题成立：若N阶方阵A,B,C,D满足：A可逆，AC=CA 则：
行列式
A B
C D
的值等于 |AD-BC| 注意此处AD-BC 是矩阵相乘，不是行列式的值相乘

证明运用了分块矩阵的运算化简，并不复杂。此处略。具体参见《几何与代数》萧树铁主编 高等教育出版社。

由题目，将行列式对应的矩阵分块，显然有AC=CA，所以行列式的值等于

a^2n-b^2n