Question

等比数列

等比数列

Answer 1

等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中an中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。
中文名
等比数列
外文名
geometric pr
1）定义式：

合并图册(2张)

（2）通项公式（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）：
（3）求和公式：

求和公式用文字来描述就是：
Sn=首项（1-末项）/1-公比（公比≠1）
如果公比q=1，则等比数列中每项都相等，其通项公式为

任意两项

，

的关系为

；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.
（4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

（5）等比中项：

ogression
若

，那么

为

等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比中项公式：

或者

。
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：

无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的
)由等比数列组成的新的等比数列的公比：
{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q

若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则
{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an？
构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
∴（a（n+1）+3）/（an+3）=2
∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
（2）定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式？
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1

等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式——复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

Answer 2

Answer 3

给你举几个例子，绝对有意思的。
1.
有11头牛，三个兄弟来分，老大要1/2,老二要1/4,老三1/6.
怎么分？
同学肯定会回答：问邻居借一头，老大12*1/2=6,老二12*1/4=3,
老三12*1/6=2,
6+3+2=11,然后把剩下的一头还掉。
这时候你就问：为什么是借一头，而不是借两头呢？如果换个题，你怎么知道借几头呢？
有没有通用的方法？
然后就开始介绍一种“比较笨”的方法，就是老老实实的分
老大
11/2,
老二
11/4,
老三
11/6
还剩下
11-(11/2+11/4+11/6)=11/12
头牛，
剩下的接着分
老大
11/12
*
1/2,
老二
11/12
*
1/4
,老三
11/12
*
1/6
如此继续，就得到一个等比数列。
老大
11/2
+
11/2
*
1/12
+
11/2
*
(1/12)^2
+
11/12
*
(1/12)^3
+
...
老二
。。。
老三
。。。
其实这个题目最简单的办法就是按比例，
1/2
:
1/4
:
1/6
=
6:3:2
2.阿基里斯追乌龟
古希腊一个著名的悖论，阿基里斯是长跑冠军，
去追在他前面100米处的乌龟，
阿的速度是5m/s,乌龟是1m/s.
当阿跑到乌龟原来所在的地方A的时候，乌龟已经向前走了一段距离,到达B处，当阿到B时，乌龟又向前走到了C，。。。。因此阿永远也追不上乌龟。
在这个问题里阿每次走的路程也是一个等比数列，你可以算一下，
当把这个无穷项的等比数列加和时，得到的是一个有限的数，因此可以追上乌龟
3。
庄子的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,一根一尺长的木棍，每天砍掉剩下的一半，永远也砍不玩。
每天砍下的长度是一个等比数列