Question

高数中值定理部分问题。 设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，f(0)=0,f(1)=1。

高数中值定理部分问题。
设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，f(0)=0,f(1)=1。证明：存在不同的ξ1，ξ2，ξ3属于(0,1),使得（如图）

Answer 1

证明：

你的题写错了，应该是：f(1)=1

本题考查介质定理和拉格朗日中值定理！

∵1/3,2/3∈(0,1)

f(x)在[0,1]上连续，

∴根据介值定理，∃x1，x2∈(0,1)，使得：

f(x1)=1/3

f(x2)=2/3

又∵

f(x)在区间(0,x1),(x1,x2),(x2,1)可导，在[0,x1],[x1,x2],[x2,1]连续，

根据拉格朗日中值定理：

∃ξ1∈(0,x1)

∃ξ2∈(x1,x2)

∃ξ3∈(x2,1)

使得：

f(x1)-f(0) =f'(ξ1)·(x1-0)

f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)·(x2-x1)

f(1)-f(x2)=f'(ξ3)·(1-x2)

因此：

1/f'(ξ1) = (x1-0)/f(x1)-f(0) =x1/(1/3)=3x1

1/f'(ξ2) = (x2-x1)/f(x2)-f(x1) =(x2-x1)/(1/3)=3x2-3x1

1/f'(ξ3) = (1-x2)/f(1)-f(x2) =(1-x2)/(1/3)=3-3x2

上述各式相加：

1/f'(ξ1) + 1/f'(ξ2) + 1/f'(ξ3) = 3x1+3x2-3x1+3-3x2=3

证毕！

想了一个下午，加点分吧！

追问

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