高数中值定理部分问题。 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1。

高数中值定理部分问题。设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1。证明:存在不同的ξ1,ξ2,ξ3属于(0,1),使得(如图)... 高数中值定理部分问题。
设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1。证明:存在不同的ξ1,ξ2,ξ3属于(0,1),使得(如图)
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vdakulav
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证明:

你的题写错了,应该是:f(1)=1


本题考查介质定理和拉格朗日中值定理

∵1/3,2/3∈(0,1)

f(x)在[0,1]上连续,

∴根据介值定理,∃x1,x2∈(0,1),使得:

f(x1)=1/3

f(x2)=2/3

又∵

f(x)在区间(0,x1),(x1,x2),(x2,1)可导,在[0,x1],[x1,x2],[x2,1]连续,

根据拉格朗日中值定理:

∃ξ1∈(0,x1)

∃ξ2∈(x1,x2)

∃ξ3∈(x2,1)

使得:

f(x1)-f(0) =f'(ξ1)·(x1-0)

f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)·(x2-x1)

f(1)-f(x2)=f'(ξ3)·(1-x2)

因此:

1/f'(ξ1) = (x1-0)/f(x1)-f(0) =x1/(1/3)=3x1

1/f'(ξ2) = (x2-x1)/f(x2)-f(x1) =(x2-x1)/(1/3)=3x2-3x1

1/f'(ξ3) = (1-x2)/f(1)-f(x2) =(1-x2)/(1/3)=3-3x2

上述各式相加:

1/f'(ξ1) + 1/f'(ξ2) + 1/f'(ξ3) = 3x1+3x2-3x1+3-3x2=3

证毕!


想了一个下午,加点分吧!

追问
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