已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一个底面在正三棱锥的底面上，若
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一个底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为...
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一个底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为12平方厘米，（1）求三棱柱的高，（2）求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥侧面积之比。
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令三棱锥的高为H，底面边长为b,内接正三棱柱的高为h，底面边长为a
显然，内接正三棱柱的底面与三棱锥的底面相似，并且相似比等于(H-h):H
∴ (15-h):15=a:12
整理得： 5a+4h=60 ①
由侧面积条件得
3ah=120
或 ah=40 ②
由①得 h=15-(5/4)a ③
把③代入②得
a[15-(5/4)a]=40
整理得
a²-12a+32=0
解得 a1=4,a2=8
分别代入③得
h1=10,h2=5
即内接正三棱柱的高为10cm或者2cm.
显然，内接正三棱柱的底面与三棱锥的底面相似，并且相似比等于(H-h):H
∴ (15-h):15=a:12
整理得： 5a+4h=60 ①
由侧面积条件得
3ah=120
或 ah=40 ②
由①得 h=15-(5/4)a ③
把③代入②得
a[15-(5/4)a]=40
整理得
a²-12a+32=0
解得 a1=4,a2=8
分别代入③得
h1=10,h2=5
即内接正三棱柱的高为10cm或者2cm.
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