Question

高数，求极限，求大神，看不懂过程

Answer 1

①因为x→0时，sinx→0，tanx→0，1/x³→∞
所以原式<==> 1^∞
需要变化成 [1+0]^∞形式，也就是第一步：原式=[1+(1+tanx/1+sinx-1)]^(1/x³)
②上式再化简==> [1+(tanx-sinx/1+sinx)]^(1/x³)
={[1+(tanx-sinx/1+sinx)]^(1+sinx/tanx-sinx)}^[(tanx-sinx)/(1+sinx)×(1/x³)]
=e^[(tanx-sinx)/(1+sinx)×(1/x³)]
③再求指数极限(tanx-sinx)/(1+sinx)×(1/x³)
=[(sinx/cosx)-sinx]/(1+sinx)×(1/x³)
=[(sinx-sinxcosx)/(1+sinx)*cosx]×(1/x³)
=[sinx*(1-cosx)/(1+sinx)*cosx]×(1/x³)
=(sinx/x)×[(1-cosx)/x²]×[1/(1+sinx)*cosx]
=1×[(1-cosx)/x²]×1
=(1-cosx)/x²
=(1-cosx)'/(x²)'
=sinx/(2x)
=1/2
综上：原式极限=e^(1/2)