Question

设函数F(X)=(sina)x^3/3+√3(cosa)x^2/2+tana,其中a在《0,5派/12》，则导数f(1)的取值范围

A<-2,2>
B<√2,√3>
C<√3,2>
D<√2,2>

Answer 1

D
F(x)的导数为(sina)x^2+√3(cosa)x
导数f(1)=sina+√3(cosa)=2sin(a+π/3)
由a在[0,π/3]=>a+π/3在[π/3,3*π/4]
由此可得f(1)的范围为[√2,2]
故选D
希望采纳

Answer 2

先将a的上下限值分别代入再求导:
f(x)=(1/3)(x³sina)+(1/2)(√3x²cosa)+tana
当a=0,f(x)=(1/2)(√3x²)
f'(x)=√3/2*2x=√3x
f'(1)=√3
当a=5π/12,f(x)=(1/3)[x³(√6+√2)/4]+(1/2)[√3x²(√6-√2)/4]+2+√3
=[(√6+√2)/12]x³+[(√6-√2)√3/4]x²+2+√3
f'(x)=[(√6+√2)/12](3x²)+[(√6-√2)√3/4](2x)+0
=[(√6+√2)/4]x²+[(√6-√2)√3/2]x
f'(1)=(√6+√2)/4+(√6-√2)√3/2
=(7-√3)/(2√2)

∴f'(1)的取值范围是(√3,(7-√3)/(2√2))
≈(1.73,1.863)

Answer 3

F'(X)=(sina)x^2++√3(cosa)x
则F（1）=sina+√3cosa
=2sin（a+π/3）

因为a∈[0，5π/12]，a+π/3∈[π/3，3π/4]，
所以sin（a+π/3）∈[√2/2,1].则F(1)∈[√2,2]