Question

数学初中几何题证明

一只BD.CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ=AB.
判断线段AP和AQ的关系，并证明

下图是我自己话的，可能有误差，大家速速，先给20
速度哦

Answer 1

证明如图：

Answer 2

AP与AQ有两种关系：大小上AP＝AQ，位置上AP⊥AQ，证明如下：

∵∠ACQ＋∠EAC＝90°
∠ABP＋∠EAC＝90°
∴∠ACQ＝∠ABP
∵AC＝PB，CQ＝BA
∴△ACQ≌△PBA
∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BPA
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAD＝∠BPA＋∠PAD＝90°
∴AP⊥AQ

Answer 3

在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∠ABD=90°-∠BAD
∠ACE=90°-∠EAC
而∠BAD=∠EAC
∴∠ABD=∠ACE
又BP=AC，BA=CQ
∴△ABP≌△QCA
∴AP=QA

Answer 4

∵∠ACQ＋∠EAC＝90°
∠ABP＋∠EAC＝90°
∴∠ACQ＝∠ABP
∵AC＝PB，CQ＝BA
∴△ACQ≌△PBA
∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BPA
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAD＝∠BPA＋∠PAD＝90°
∴AP⊥AQ

Answer 5

证：
∵CE⊥AB ,BD⊥AC
又∵△ACE与△ADB共用∠CAB
∴∠ACE=∠ABD
∵BP=AC, CQ=AB.
∴△CQA≌△BAP
∴AP=AQ