高数 数列 极限 证明

lim(√n)*arctann------------------=0n->∞1+n用定义证明... lim (√n)*arctan n
------------------=0
n->∞ 1+n
用定义证明
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WSTX2008
2010-10-10 · TA获得超过5443个赞
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证明:
当n→∞时,式子满足∞/∞型,故连续使用L'Hospital法则,分子分母同时求导得:原式 → arctann/2√n+√n/(n^2+1) → 2√n/(n^2+1) → 1/(2n√n)
即求原方程的极限转化为求1/(2n√n)的极限。
显然,当n→∞时,lim[1/(2n√n)]=0,所以
lim[(√n)arctann/(1+n)]=0 得证
百度网友8d8acae
2010-10-11 · TA获得超过6503个赞
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【极限定义证明】
求证:lim(n->∞) (√n)*arctan n /(n+1) = 0

证明:
① 对任意 ε>0 ,
要使: |(√n)*arctan n /(n+1) - 0 |< ε 成立,
只要: |(√n)*arctan n /(n+1) - 0 |< |√n*arctan n /(n+1)|< |√n*arctan n /n|
< |arctan n /√n| < π/2*1/√n <ε ;
即只要: n > (π/2ε)^2 即可 ;

② 故存在 N = [(π/2ε)^2]+1 ∈Z+,

③ 当 n > N 时,

④ 恒有:|(√n)*arctan n /(n+1) - 0 |< ε 成立.

∴ lim(n->∞) (√n)*arctan n /(n+1) = 0

【夹逼定理】
∵ 0< |√n*arctan n /(n+1)|< |√n*arctan n /n| < |arctan n /√n| < π/2*1/√n

∵ lim(n->∞) π/2 * 1/√n = 0 , 由夹逼定理:
∴ lim(n->∞) (√n)*arctan n /(n+1) = 0
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数论_高数
2010-10-10 · TA获得超过4845个赞
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lim{n->∞}(√n)*arctann/(1+n)
=lim{n->∞}arctann/[(1/√n)+√n]
=0
arctann是有界变量,1/[(1/√n)+√n]是无穷小量。
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zqs626290
2010-10-10 · TA获得超过3.1万个赞
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(1)易知,lim(arctann)=π/2.(n--->∞).(2)∵对任意正整数n,1/(2√n)<(√n)/(n+1)<1/(√n)--->0.∴由“夹逼定理”可知,lim[(√n)/(n+1)]=0.(n--->∞).(3)∵当n-->∞时,limAn=a,limBn=b,则lim(AnBn)=ab.∴lim{(√n)(arctann)/(n+1)}=lim(arctann)×lim[(√n)/(n+1)]=(π/2)×0=0.
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豆气深0y
2010-10-10 · TA获得超过2242个赞
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其实很简单,由极限乘法性质,有
(√n)*arctan n/(n+1)的极限=π/2*√n/(n+1)的极限
但√n/(n+1)的极限=1/(√n+1/√n)的极限=0
所以原极限等于0
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