Question

高中一道数学题

设F1,F2分别是椭圆x 2;/a 2;+y 2;/b 2;=1(a>b)的左右焦点，过F1的直线与椭圆交于A,B,且AB向量乘以AF2向量等于0，AB的模等于AF2的模，则椭圆的离心率

Answer 1

由AB向量与AF2向量的数量积=|AB|*|AF2|cosθ=0
(其中θ是AB向量与AF2向量之间的夹角,0° ≤ θ ≤ 180°)所以θ=90，再有AB的模等于AF2的模，则三角形ABF2为等腰直角三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|/根号2
而|AF2|+|AF1|=2a
|BF2|+|BF1|=2a
所以|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=4a
解得
|AB|=|AF2|=(4-2根号2)a
|BF2|=(4根号2-4)a
|AF1|=(2根号2-2)a
|BF1|=（6-4根号2)a
则在三角形BF1F2中，角F1BF2为45度，|F1F2|=2c
所以由余弦定理
|F1F2|^2=|BF2|^2+|BF1|^2-2|BF2|*|BF1|cos45
即（2c）^2=[(4根号2-4)a]^2+[（6-4根号2)a]^2-2(4根号2-4)a[（6-4根号2)a]*根号2/2
化简为 c^2=(9-6根号2)*a^2=3*(根号2-1)^2*a^2
所以e=c/a=根号[3*(根号2-1)^2]=根号6-根号3