Question

设函数f（x）与g（x）在点x0连续，证明函数

设函数f（x）与g（x）在点x0连续，证明函数a（x） = max｛f（x），g（x）｝，
b（x）= min｛f（x），g（x）｝，在点x0也连续。详细过程

Answer 1

一共两种方法，先说第一种
（1）当f(x)≥g(x)时,a(x)=max{f(x);g(x)}=f(x),b(x)=min{f(x);g(x)}=g(x)
∵函数f(x)与g(x)在点x0处连续
∴根据连续定义知,lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x-x0)g(x)=g(x0)
∵lim(x-x0)a(x)=lim(x-x0)f(x)=f(x0)=a(x0)
lim(x-x0)b(x)=lim(x-x0)g(x)=g(x0)=b(x0)
∴根据连续定义知,函数a(x)与b(x)在点x0处连续；
（2）当f(x)＜g(x)时,a(x)=max{f(x);g(x)}=g(x),b(x)=min{f(x);g(x)}=f(x)
∵函数f(x)与g(x)在点x0处连续
∴根据连续定义知,lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x-x0)g(x)=g(x0)
∵lim(x-x0)a(x)=lim(x-x0)g(x)=g(x0)=a(x0)
lim(x-x0)b(x)=lim(x-x0)f(x)=f(x0)=b(x0)
∴根据连续定义知,函数a(x)与b(x)在点x0处连续

当然还有一种简便方法，看你是否能理解
这里需要记住两个公式:
max{a,b}=(1/2)[a+b+|a-b|]
min{a,b}=(1/2)[a+b-|a-b|]

∵a(x)=max{f(x);g(x)}=1/2[f(x)+g(x)+│f(x)-g(x)│]
b(x)=min{f(x);g(x)}=1/2[f(x)+g(x)-│f(x)-g(x)│]
且f(x)与g(x)在点x0处连续,即lim(x->x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)
∴lim(x->x0)a(x)=lim(x->x0){1/2[f(x)+g(x)+│f(x)-g(x)│]}
=1/2[f(x0)+g(x0)+│f(x0)-g(x0)│]
=a(x0)
lim(x->x0)b(x)=lim(x->x0){1/2[f(x)+g(x)-│f(x)-g(x)│]}
=1/2[f(x0)+g(x0)-│f(x0)-g(x0)│]
=b(x0)
∴根据连续定义知,函数a(x)与b(x)在点x0处连续

Answer 2