Question

已知函数f(x)=log2 (mx^2-2(m+1)+8+m）

①若函数定义域为R，求实数m的取值范围；
②若函数值域为R，求实数m的取值范围。
题目的那个“2”是底数，“mx^2-2(m+1)+8+m”是真数

Answer 1

1、mx^2-2(m+1)x+8+m>0，定义域为R，

则m>0,且delta=4（m+1）^2-4m(8+m)<0,

得m>1/6
即实数m的取值范围 是m>1/6

2、若值域为R，则g（x）=mx^2-2(m+1)x+8+m中g（x）能取到所有正数即可

则说明g（x）与x轴有交点即可，且开口要向上的

所以m>0,且delta=delta=4（m+1）^2-4m(8+m)≥0，

得0<m≤1/6

即此时m的取值范围是（0，1/6】

Answer 2

1 定义域为R即要求mx^2-2(m+1)x+8+m恒大于0
m=0显然不符合题意
m≠0时，依题意
m>0，且△<0
2 值域为R，这个比较难理解一些，对数函数的本身的值域就是R，所以要真数 能够取遍所有的X>0时才能满足题意，所以mx^2-2(m+1)x+8+m的取值范围能够包含X>0，
m=0时，mx^2-2(m+1)x+8+m=-2x+8 ，取值范围是R，能够包含住X>0，所以满足题意
m≠0时，（一个二次函数的值域要能够包含X>0，只能是开口向上，且必须要与X轴有交点才能满足）
m>0，且△≥0

两个问题的关于不等式的解答过程请自行完成

Answer 3

定义域为R，说明真数大于0恒成立，所以只需要mx^2-2(m+1)+8+m的判别式小于0即可
值域为R，说明真数可以取到所有的正实数，所以只要mx^2-2(m+1)+8+m的判别式大于0即可