Question

高数大神来 这题怎么证明

Answer 1

　　解：分享一种解法，转化成贝塔函数求证。
　　其过程是，①设x=t^(1/3)，则左边=(1/3)∫(0,1)t^(-2/3)(1-t)^(1/5)dt=(1/3)B(1/3,6/5)=(1/15)Γ(1/3)Γ(1/5)/Γ(23/15)，
　　②设x=t^(1/5)，则右边=(1/5)∫(0,1)t^(-4/5)(1-t)^(1/3)dt=(1/5)B(1/5,4/3)=(1/15)Γ(1/3)Γ(1/5)/Γ(23/15)，
　　∴左边=右边，等式成立。
　　供参考。

追问

没学过贝塔函数啊 有没有简单的方法

追答

　　可以有。设1-x^3=t，则x=(1-t)^(1/3)，用分部积分法。
　　∴左边=∫(0,1)t^(1/5)d[(1-t)^(1/3)]=[t^(1/5)(1-t)^(1/3)]丨(t=0,1)+(1/5)∫(0,1)t^(-4/5)[(1-t)^(1/3)]dt=(1/5)∫(0,1)t^(-4/5)[(1-t)^(1/3)]dt，
　　再令t=y^5，即可。
　　供参考。