Question

高数二重积分，求根据题中的公式，图像是如何画出来的？

Answer 1

一步步算积分上下限就行了，不要被积分项干扰。
(1)先看前半部分，dx下限为0，先画一条x=0，也就是y轴，再画x=y，也就是一条斜直线。dy是从0→R/√2，也就是在dx已经画好的基础上，再y=x上取0→R/√2围成面积就行，也就是圆弧里的那个小三角。你可能要问为什么是上半个小三角？记住前面dx是y轴与y=x围成的，所以是取上半个小三角。
第一部分画完。
(2)再看后半部分，同理，dx下限为0，也就是y轴，再画x=√(R²-y²)(其实就是x²=R²-y²，x²+y²=R²，一个以原点为圆心，半径为R的圆)，因为有根号的关系，所以取值为x≥0的部分，也就是右半圆。看dy，是从R/√2→R，也就在右半圆上取R/√2→R的面积，同样，因为是与y轴围成的，所以取上半部分面积。
这两个叠加就是阴影部分面积。