Question

求由方程xy+yz+xz+ln(xyz)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数和全微分

Answer 1

令G(X,Y,Z)=F(xy,z-2x)

GZ'=F'2

GX'=yF'1-2F'2

∂z/∂x=-GX'/GZ'=(2F'2-yF'1)/F'

Gy'=xF'1

∂z/∂y=-Gy'/GZ'=(-xF'1)/F'2

推导

设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx)  f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 

微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。

Answer 2

方程xy+yz+xz+ln(xyz)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数和全微分可以利用隐函数计算，

示例

设方程P(x, y)=0确定y是x的函数，并且可导。如今可以利用复合函数求导公式求出隐函数y对x的导数。

方程 x2+y2-r2=0确定了一个以x为自变量，以y为因变量的数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y2看作x的复合函数，则有：

(x2)+ (y2)-(r2)=0，

即 2x+2yy'=0，

于是得y'=-x/y 。

从上例可以看到，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y'的一次方程， 解出y'即为隐函数的导数。

扩展资料：

推理过程如下

一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程F（x，y）=0中，作为这方程的一个解（函数）。例如x2+y2-1=0，如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=±1，

因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=(x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。微分学中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。

这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分：

可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，唯一的条件是

Answer 3

如图