Question

第二十题的详细解答，谢谢

Answer 1

（1）
∵BC切⊙O于C，∴∠BCD＝∠DAC。
∵DE∥BC，∴∠CDF＝∠BCD＝∠DAC，∴CD是△ADF的切线，
∴由切割线定理，有：CD^2＝CF·AC。
又CF、AC是方程x^2－ax＋36＝0的两根，
∴由韦达定理，有：CF·AC＝36，∴CD^2＝36，∴CD＝6。

（2）
∵AD＝2BD，∴可令AD＝2x、BD＝x。
∵BC切⊙O于C，∴由切割线定理，有：x·3x＝BC^2＝81，
∴x＝3√3，∴AD＝2x＝6√3、AB＝3x＝9√3。
∵DF∥BC，∴CF/AC＝BD/AB＝x/（3x）＝1/3，∴AC＝3CF，又CF·AC＝36，
∴3CF^2＝36，∴CF＝2√3，∴AC＝3CF＝6√3。
于是，由韦达定理，得：a＝CF＋AC＝8√3。

令CD的中点为H，过C作CG⊥AD交AD于G。
显然有：AH⊥CD，∴（1/2）AD·CG＝（1/2）CD·AH＝S(△ACD)，
∴sin∠DAC＝CG/AC＝AD·CG/（AC·AD）＝CD·AH/（AC·AD）。
由勾股定理，有：AH^2＝AC^2－CH^2＝（6√3）^2－3^2＝99，∴AH＝3√11。
于是：sin∠DAC＝CD·AH/（AC·AD）＝6×3√11/（6√3）^2＝√11/6。