Question

设函数f(x)=1/3x^3-(1＋a)x^2+4ax+24a 其中常数a＞1，若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围

设函数f(x)=1/3x^3-(1＋a)x^2+4ax+24a 其中常数a＞1，若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围
要解析 要过程 谢谢

Answer 1

f'(x)=x2-2（1+a)x+4a
令x2-2（1+a)x+4a =0 （x-2a)(x-2)=0得x=2a,x=2
由f'(x)>0得， x>2a或x<2 a>1
所以函数在(2a，+∞）、（-∞，2）是增函数，在（2，2a)是减函数。
所以 f(x)在x≥0时在[0,2)单调增，
在（2，2a）单调减
在（2a，+∞）单调增
f(0)=24a和f(2a) 都要＞0
则1小于a 小于 6
这就是答案

Answer 2

f'(x)=x2-2（1+a)x+4a 令x2-2（1+a)x+4a =0 （x-2a)(x-2)=0得x=2a,x=2
∵a>1，由f'(x)>0得，x>2a或x<2
所以函数在(2a，+∞）、（-∞，2）是增函数，在（2，2a)是减函数。
所以
f(x)在x≥0时在[0,2)单调增，在（2，2a）单调减
在（2a，+∞）单调增
f(0)=24a和f(2a)可能取到最小值

f(0)>0成立
f(2a)=8a^3/3-4a^3-4a^2+16a^2+24a
=-4/3a^3+12a^2+24a
=-4a/3（a^2-9a-18）
解f(2a)>0
即a^2-9a-18<0
（a-9/2）²<18+81/4
（a-9/2）²<153/4
-根号153/2<a-9/2<根号153/2
又a>1
∴1<a<（根号153+9）/2

Answer 3

求导
f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
x=2 x=2a
若a=1 f'(x）>=0 原函数为增函数，
所以f(0)>0 求解即可
若a>1 x<2 增函数
2<x<2a 减函数
x>2a 增函数
所以f(0)>0 且f(2a)>0
若a<1 x<2a 增函数
2a<x<2 减函数
x>2 增函数
所以f(2)>0

只有过程和思路，求解你自己来吧
很容易的

Answer 4

求导
f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
x=2 x=2a
若a=1 f'(x）>=0 原函数为增函数，
所以f(0)>0 求解即可
因为a>1 ，则有2a>2,画出图形，
x<2 增函数
2<x<2a 减函数
x>2a 增函数
f(0)>0 且f(2a)>0

Answer 5

如图

Answer 6

求导