Question

这三道题求解

Answer 1

3.
f(x,y)=ycosx
f'x=-ysinx=0
f'y=cosx=0
得点(kπ+π/2，0)
f''xx=-ycosx=A
f''xy=-sinx=B
f''yy=-sinx=C
代入得AC-B²=0-1=-1＜0
所以无极值点。
4.
f(x,y)=e^x cosy
fx=e^x cosy=0
fy=-e^x siny=0
cosy=0且siny=0
求不出驻点。
无极值点。
5.
两点距离
d=f(x,y,z)=√[(x-4)²+(y-2)²+z²]
L=λ(x²+y²-z²)
F(x,y,z)=√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+λ(x²+y²-z²)
Fx=(x-4)/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+λ=0
Fy=(y-2)/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+λ=0
Fz=z/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+λ=0
Fλ=x²+y²-z²=0
由Fx-Fy得
x-4=y-2→y=x-2
由Fz-Fz得
x-4=z
将上两式代入Fλ得
x²+(x-2)²-(x-4)²=0
x²+4x-12=0
(x-2)(x+6)=0
得x=2或x=-6
即(2，0，-2)或(-6，-8，-10)
分别代入d
d1=√(4+4+4)=2√3
d2=√(10²+10²+10²)=10√3
所以最短距离为2√3，点为(2，0，-2)

追问

第五题（2，1，√5）距离更小吧

追答

我傻了，求导做错了

5.
两点距离
d=f(x,y,z)=√[(x-4)²+(y-2)²+z²]
L=λ(x²+y²-z²)
F(x,y,z)=√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+λ(x²+y²-z²)
Fx=(x-4)/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+2λx=0
Fy=(y-2)/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+2λy=0
Fz=z/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]+2λz=0
Fλ=x²+y²-z²=0

Fz=z/√[(x-4)²+(y-2)²+z²]-2λz=0
Fx-Fy得
(x-4)/2x=(y-2)/2y
(x-4)/x=(y-2)/y
1-4/x=1-2/y
y=-x/2
Fx-Fz得
(x-4)/2x=-z/2z
(x-4)/x=-1
1-4/x=-1
x=2
y=-1
z=±√5

上面写错，y=x/2
y=1
(2，1，±√5)