Question

已知a+b/c=b+c/a=a+c/b=k，求k的值

Answer 1

a/b+c=b/a+c=c/a+b=k
所以a=k(b+c)
b=k(a+c)
c=k(a+b)
相加
a+b+c=2k(a+b+c)
(a+b+c)(2k-1)=0

若a+b+c=0
则 b+c=-a
k=a/(b+c)=a/(-a)=-1

若2k-1=0
则 k=1/2

所以选C

Answer 2

a+b/c=b+c/a=a+c/b=k
则a+b=kc,b+c=ka,a+c=kb
所以a+b+b+c+a+c=kc+ka+kb
所以2(a+b+c)=k(a+b+c)
则(k-2)(a+b+c)=0
则k=2或a+b+c=0
a+b+c=0时,a+b=-c,此时k=a+b/c=-1
所以k=2或-1

Answer 3

解：
分式有意义，a、b、c均不等于0
a+b=ck ①
b+c=ak ②
a+c=bk ③
①+②+③
2(a+b+c)=(a+b+c)k
(a+b+c)(k-2)=0
分类讨论：
(1)
a+b+c=0时，
a+b=-c，k=(a+b)/c=-c/c=-1
(2)
a+b+c≠0时，
k-2=0
k=2
综上，得k的值为-1或2

总结：
1、需要讨论a+b+c=0时的情况，不要遗漏。
2、a+b+c=0时，由方程(a+b+c)(k-2)=0可得k可取任意实数，此时方程对k的取值约束失效，需要从原始条件推导k的取值。

Answer 4

k=(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(b+c-a)/a
则a+b-c=ck
a-b+c=bk
b+c-a=ak
三式相加得 a+b+c=k(a+b+c)
所以k=1 或a+b+c=0
当a+b+c=0时
a+b=-c
k=(a+b-c)/c=(-c-c)/c=-2
即k=1或-2

Answer 5

已知a+b/c=b+c/a=c+a/b=k
a+b=ck
b+c=ak
c+a=bk
(a+b)+(b+c)+(c+a)=(c+a+b)k
2(a+b+c)=(a+b+c)k
k=2