在三角形abc中内角abc对边分别为abc 已知Cos²B+CosB=1-CosACosC求证abc为等

在三角形abc中内角abc对边分别为abc已知Cos²B+CosB=1-CosACosC求证abc为等比数列若b=2求三角形ABC的面积最大值... 在三角形abc中内角abc对边分别为abc 已知Cos²B+CosB=1-CosACosC求证abc为等比数列
若b=2 求三角形ABC的面积最大值
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鱼跃红日
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飘渺的绿梦2
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(1)
在△ABC中,显然有:cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC,
∴1+cosB=sinAsinC+1-cosAcosC,
∴(cosB)^2+(sinB)^2+cosB=sinAsinC+1-cosAcosC,
又(cosB)^2+cosB=1-cosAcosC,∴(sinB)^2=sinAsinC,结合正弦定理,得:
b^2=ac,∴a、b、c成等比数列。
(2)
∵b^2=ac,结合余弦定理,有:
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(a^2+c^2)/(2ac)-1/2。
a、c明显是正数,∴cosB≧2ac/(2ac)-1/2=1/2,∴B≦60°。
显然有:S(△ABC)=(1/2)acsinB=(1/2)b^2·sinB=2sinB,
∴当sinB取最大值时,S(△ABC)最大,此时需要B=60°,∴S(△ABC)≦2×(√3/2)=√3。
∴△ABC面积的最大值是√3。
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