请教关于函数极限的问题
设f(x)>0，证明：若f(x)-->A(x-->x0)，则f(x)开n次方-->A开n次方(x-->x0)，其中n>=2....
设f(x)>0，证明：若f(x)-->A(x-->x0)，则f(x)开n次方-->A开n次方(x-->x0)，其中n>=2.
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分两种情况：
（I）A=0
即 f(x)-->0 (x-->x0)
即对任意 k>0 存在m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)|<k.
固定p>0
令k=p^n, 则存在 m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)|<k=p^n
则 |f(x)开n次方|< p
这就说明了 f(x)开n次方 --> 0 (x-->x0)
(II) A>0
由于当 a, b>0时，
|a^n - b^n| = |a-b| * (a^(n-1) + a^(n-2)b +...+b^(n-1))
>= |a-b| * b^(n-1)
令 a=f(x)开n次方，b=A开n次方，c=b^(n-1) 则a,b,c>0. 由上式得
|f(x)-A|/c >= |f(x)开n次方 - A开n次方| （**）
若f(x)-->A (x-->x0), 则对任意k>0，存在 m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)-A|<k
固定p>0.
令k=pc
则存在m>0使得当|x-x0|<m时 |f(x)-A|<k = pc
由（**）知， |f(x)开n次方 - A开n次方| <= |f(x)-A|/c < p
所以 f(x)开n次方 --> A开n次方 (x-->x0)
（I）A=0
即 f(x)-->0 (x-->x0)
即对任意 k>0 存在m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)|<k.
固定p>0
令k=p^n, 则存在 m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)|<k=p^n
则 |f(x)开n次方|< p
这就说明了 f(x)开n次方 --> 0 (x-->x0)
(II) A>0
由于当 a, b>0时，
|a^n - b^n| = |a-b| * (a^(n-1) + a^(n-2)b +...+b^(n-1))
>= |a-b| * b^(n-1)
令 a=f(x)开n次方，b=A开n次方，c=b^(n-1) 则a,b,c>0. 由上式得
|f(x)-A|/c >= |f(x)开n次方 - A开n次方| （**）
若f(x)-->A (x-->x0), 则对任意k>0，存在 m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)-A|<k
固定p>0.
令k=pc
则存在m>0使得当|x-x0|<m时 |f(x)-A|<k = pc
由（**）知， |f(x)开n次方 - A开n次方| <= |f(x)-A|/c < p
所以 f(x)开n次方 --> A开n次方 (x-->x0)
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Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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