Question

请帮我解答一下数学题

已知f(x)=(ax+b)/(1+x2( x的平方）)是定义在（-1,1）上的奇函数,且f(1/2)=2/5 解不等式f(t-1)+f(t)<0
要详细的解答过程谢谢啦

Answer 1

因为f(x)是奇函数，
所以 f(-x)=-f(x)
(-ax+b)/指昌[1+(-x)^2]=-(ax+b)/(1+x^2)
-ax+b=-ax-b
所以 b=0
又因旦明为f(1/2)=2/5
所以 (a/2)/[1+(1/2)^2]=2/5
可解得 a=1
所以 f(x)=x/(1+x^2)
令 -1<x1<x2<1
则 x2-x1>0 x1x2<1
f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=[(x1x2-1)(x2-x1)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
<0
所以 f(x1)<f(x2)
所以 f(x)在(-1,1)上单调递增
f(t-1)+f(t)<0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
所以 t 要满足以下三个条件
-1<t-1<1
-1<模逗告t<1
t-1<-t
所以 0<t<1/2

Answer 2

（1）因为是奇函数
所以f(x)=-f(-x)
所以ax+b/1+x²=f(x)=-f(-x)=-[-ax+b/1+x²]=ax-b/1+x²
所以ax+b=ax-b
所以b=0
既f(x)=ax/1+x²，又f(1/2)=2/5
2/5=a*(1/2)/[1+(1/4)]
a=1
所以f(x)=x/数滚(1+x²)

2.
f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1,则：x1-x2<困型0, x1x2<1, 1-x1x2>0
f(x1)-f(x2)
=[x1/(1+x1^2)]-[x2/(1+x2^2)]
=[(1+x2^2)x1-(1+x1^2)x2]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=(x1-x2)(1-x1x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]<0
f(x1)<f(x2)
函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数

f(t-1)+f(t)＜0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2

同时：-1<t-1<1, -1<t<1, 则：0<t<1

所以薯尺余：0<t<1/2

Answer 3

F(x)=(ax+b)/(1+x2( x的平方）)是定义在（-1,1）睁册侍上的奇函数
则有 F(-X)=(-AX+B)/(A+(-X)^2)=-(AX+B)/(1+X^2)
因为等式恒等
所以有 B=-B ==>B=0
所以F(X)=AX/(1+X^2) ,因为F(1/2)=(1/2)A/(1+(1/2)^2)=2/5
==>A=1
所以F(X)=X/(1+X^2)
因悉吵为F(X)=X/(1+X^2)=1/(X+1/X)
因为当X>0时候 X+1/X>=2 当X=1/X.即X=1.X+1/X有最大值
所以在(0,1]内,F(X)是单调递增函数
因为函数在在（-1,1）上的姿悄奇函数.所以F(X)在 (-1,1)是单调递增函数

解不等式f(t-1)+f(t)<0
即F(T-1)<-F(T)=F(-T)
因为所以F(X)在 (-1,1)是单调递增函数
即 T-1<-T ==> T<1/2
因为F(X)定义域为(-1,1)
所以F(T-1)定义域为 (0,2),F(T)定义域为(-1,1)
综合以上,0<T<1/2