大神求解微积分习题
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因为lim(n->∞)an=A
所以对任意ε>0，存在正整数N，对所有n>N，有|an-A|<|A|ε/(ε+1)
且根据柯西收敛准则，有|a(n+1)-an|<|A|ε/(ε+1)
因为|A|ε/(ε+1)>|an-A|>|A|-|an|，所以有|an|>|A|-|A|ε/(ε+1)=|A|/(ε+1)
所以对任意ε>0，存在正整数N，对所有n>N，有
|a(n+1)/an-1|=|a(n+1)-an|/|an|
<[|A|ε/(ε+1)]/[|A|/(ε+1)]
=ε
即lim(n->∞) a(n+1)/an=1
所以对任意ε>0，存在正整数N，对所有n>N，有|an-A|<|A|ε/(ε+1)
且根据柯西收敛准则，有|a(n+1)-an|<|A|ε/(ε+1)
因为|A|ε/(ε+1)>|an-A|>|A|-|an|，所以有|an|>|A|-|A|ε/(ε+1)=|A|/(ε+1)
所以对任意ε>0，存在正整数N，对所有n>N，有
|a(n+1)/an-1|=|a(n+1)-an|/|an|
<[|A|ε/(ε+1)]/[|A|/(ε+1)]
=ε
即lim(n->∞) a(n+1)/an=1
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