Question

复变函数，这个题目为什么不能用z为0是分子的一级极点，分母的6级极点，所以是fz的5级极点？

复变函数，这个题目为什么不能用z为0是分子的一级极点，分母的6级极点，所以是fz的5级极点？答案却是3级极点，

Answer 1

z=0是分子的二级零点，是分母的6级零点，所以是fz的4级极点

追答

x->0时，x-sinx的同阶无穷小是x^2，不是x。

还有零点与极点，是两个概念，前者是目标取零的点，后者是目标趋于无穷的点。

不可混为一谈

(⊙o⊙)哦，我好像看错了，纠正一下x-sinx的一阶导数是1-cosx,二阶导数sinx，三阶导数是cosx(在x=0处取1),所以同阶无穷小是x^3(三阶导数为6)。也就是说x-sinx是3级零点。

那么z=0就是z-sinz的三级零点，是z^6的6级零点，所以是fz的三级极点

追问

请问下什么情况可以直接进行零点的判断

比如z➖sinz这个，当z为0他不就是0，那不就是零点了。然后这个式子是一次方，不就是一级零点吗

追答

零点级数不是看他是不是有一次方，而是看他与只含z^n的式子同阶时，n是几。

比如z-z与z^2-z^2，在z=0都是0,也不能说他既是一级又是二级零点

z与sinz都是一级零点，但他们的差却是更高级的零点

定义n级零点时，是把z=0作为z的一级零点，作为z^n的n级零点的。对于一个式子gz，你求出他与z^n在z=0处是同阶无穷小，那就可以提出z^n，即gz=(gz/z^n)*z^n，然后由于是同阶无穷小，gz/z^n是个非零常系数，即gz=kz^n，所以z=0为其n级零点

总之，要确定z=0是gz的几级零点，最终操作就是对gz关于z求导，直到求出的结果在z=0处不为0，求导次数就是零点级数

追问

最后问一遍，这个题目为什么多乘一个z²，然后输出是二级零点

追答

研究目标还是sinz/z^3，多乘z^2是为了得出z^2sinz与z^3同阶

追问

哦哦。谢谢哈

追答

即z=0是sinz/z^3的二级极点，因为它乘上z^2(只要是以z=0为二级零点的表达式就可以，z^2最简单)，极限不为零

以z=0为n级极点的表达式与以z=0为n级零点的表达式乘积在z=0处极限为非零常数

记住这个

追问

嗯嗯。谢谢哈

记住了

Answer 2

z=0是分子的一阶零点吗??????

追问

不对，是3级

请问下什么情况可以直接判断比如z➖sinz这个，当z为0他不就是0，那不就是零点了。然后这个式子是一次方，不就是一级零点吗

追答

当z=z0是f(z)的m阶零点,是g(z)的n阶零点时,如果m≠n,那么z0是f(z)±g(z)的min{m,n}级零点.如果m=n,需要根据定义判断了.
这题z=0是f(z)=z和g(z)=sinz的一级零点,所以需要用零点的定义来判断
(z-sinz)'=1-cosz,当z=0时为0
(1-cosz)'=sinz,当z=0时为0
(sinz)'=cosz,当z=0时不为0,根据定义,z=0是三级零点.