Question

一个数学题，麻烦大家给解决

一个数学题，麻烦大家给解决： 设σ是3维实线性空间V上的一个线性变换，证明：
(1)存在一个次数小于9的多项式f(x)，使得f(σ)=0；
(2)σ可逆的充分必要条件是，存在一个常数项不为零的多项式f(x)，使得f(σ)=0。
是个矩阵理论的题目。

Answer 1

(1)
因为σ是一个线性变换，则令其特征多项式为：
f(λ)，根据Cayley-Hamilton定理，σ的特征多项式一定为σ的化零多项式。
∴f(σ)=0
又σ是3维实空间上的线性变换
则σ的特征多项式的次数不超过3
所以一定存在一个次数小于9的多项式f(x)，使得f(σ)=0。（不知道最后这里对不对啊，为什么题目会是9？）

(2)
=》设σ为可逆矩阵，则其特征值全不为零，令其特征值为λ1、λ2、λ3，则其特征多项式为：
f(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)，此多项式的常数项为-λ1λ2λ3≠0
∴存在常数项不为零的多项式f(x)使得f(σ)=0
《=设存在一个常数项不为零的多项式f(x)使得f(σ)=0
由于σ的极小多项式一定整除σ的化零多项式
则σ的极小多项式的根一定是f(x)=0的根
又σ极小多项式的根一定是σ的特征值
∵f(x)=0的常数项不为零
∴0不是f(x)=0的根
即0不是σ的特征值
σ的特征值全不为零，所以σ为可逆矩阵
得证

Answer 2

依照大学本科学历非数学类专业所学知识无法解决此类问题
爱莫能助呀······