Question

一道关于对数和指数的数学题

若a是方程2x+2^x=j的实数解,b是方程2x+2log<2>(x-1)=5的实数解,则a+b=? (注:<2>表示以2为底) 实在不会做,求解, 有过程的

Answer 1

看看题是不是抄错了、
在网上给你找了一个参考，你自己可以照着做一下。
以前曾做过：
x1是方程 x + 2^x =b 的解，
x2是方程 x + log<2>(x)=b 的解，
求 x1 + x2 的值

一个巧妙解法是
设y =2^x
则x + y =b

把x =log<2>(y)回代原方程，
得y + log<2>(y)=b

x2是 x + log<2>(x)=b 的解
这个 x2 就是上面的 y 。

从而 x1 + x2 =b

【2】今天探索了好一会，我怀疑：
“ 2^x 被打字成 x^2 了！”

如果套用 1.的解法，
那么问题应该是：

“若x1满足2x + 2^x = 5 ，x2满足2x + 2log<2>(x-1) = 5 ，
则 x1 + x2 = ？”

在2x + 2^x =5 中，
令2^x =2y -2
则
x = log<2>(2y -2)
2x=2log<2>(2y -2) =2log<2>(y -1) +2

2x + 2^x
=[2log<2>(y -1) +2]+(2y -2)
=2y + 2log<2>(y -1)

也就是说
方程 2x + 2^x = 5 ---------------- (1)
变形为
方程 2y + 2log<2>(y -1) = 5 ------ (2)
即
方程 2x + 2log<2>(x -1) = 5 ------ (3)

x1是方程（1）的解------ 2*x1 + 2*y -2 =5
x2是方程（3）的解
x2就是方程(2)的解y----- 2*x1 + 2*x2-2 =5

从而
x1 + x2 =7/2

【3】推广方向之一 --- 函数f(x)多样化
我们从
2 + 2^2 =6
2^2 + 2 =6
来扩展问题

(1)把某些 2 换成 x 。
x1是方程x +x^2 =6 的解 ----------- x1 = 2
x2是方程x +√x =6 的解 ----------- x2 = 2^2
求 x1 + x2 的值。
[显然 2 + 2^2 =6 ]

(2)把常数 6 一般化成 b 。
x1是方程x +x^2 =b 的解 ----------- x1 = x
x2是方程x +√x =b 的解 ----------- x2 = x^2
求 x1 + x2 的值

(3)把指数 2 一般化成 n 。
x1是方程x +x^n =b 的解 ----------- x1 = x
x2是方程x +x^(1/n) =b 的解 ------- x2 = x^n
求 x1 + x2 的值

(4)换个角度把某些 2 换成 x 。
x1是方程x +2^x =6 的解 ----------- x1 = 2
x2是方程x +log<2>(x) =6 的解 ----- x2 = 2^2
求 x1 + x2 的值

(5)把常数 2 一般化成 a 。
x1是方程x +a^x =b 的解 ----------- x1 = x
x2是方程x +log<a>(x) =b 的解 ----- x2 = a^x
求 x1 + x2 的值

(6)更一般化，具体函数变成抽象函数f(x)
x1是方程x +f(x) =b 的解 ---------- x1 = x
x2是方程x +g(x) =b 的解 ---------- x2 = f(x)
其中，g(x)是f(x)的反函数
求 x1 + x2 的值

选择恰当的f(x)，从而得到形式多样的同类问题！

【4】推广方向之二 --- 变元的增加
我们从
2 + 2^2 + 2^4 =22
2 + 2^2 + 2^4 =22
2 + 2^2 + 2^4 =22
来扩展问题

(1)
x1是方程x + x^2 + x^4 =22 的解 ------ x1 = 2
x2是方程√x + x + x^2 =22 的解 ------ x2 = 2^2
x3是方程√√x +√x +x =22 的解 ------ x3 = 2^4
求 x1 + x2 + x3 的值

(2)
x1是方程x + x^2 + x^4 =b 的解 ------- x1 = x
x2是方程√x + x + x^2 =b 的解 ------- x2 = x^2
x3是方程√√x +√x +x =b 的解 ------- x3 = x^4
求 x1 + x2 + x3 的值

(3)
x1是方程x + x^n + x^(n^2) =b 的解
x2是方程x^(1/n) + x + x^(n)=b 的解
x3是方程x^(1/n^2) + x^(1/n) + x=b 的解
求 x1 + x2 + x3 的值

(4)
x1是方程x +2^x +2^(2^x) =k 的解
x2是方程log<2>(x)+x+2^x =k 的解
x3是方程log<2>[log<2>(x)] +log<2>(x) +x =k 的解
求 x1 + x2 + x3 的值

(5)
x1是方程x +a^x +a^(a^x) =k 的解
x2是方程log<a>(x) +x +a^x =k 的解
x3是方程log<a>[log<a>(x)] +log<a>(x) +x =k 的解
求 x1 + x2 + x3 的值

(6)
x1是方程x +f(x) +f[f(x)] =k 的解 ----- x1 = x
x2是方程g(x) + x + f(x) =k 的解 ----- x2 = f(x)
x3是方程g[g(x)] +g(x) +x =k 的解 ----- x3 = f[f(x)]
其中，g(x)是f(x)的反函数
求 x1 + x2 + x3 的值

选择恰当的f(x)，从而得到形式多样的同类问题！

对数学推广感兴趣的朋友，
不妨继续进行！