Question

根据极限定义证明

Answer 1

用极限定义证明:

证明：不论预先给定的ξ>0怎么小，由∣(5x+2)-12∣=∣5x-10∣=5∣x-2∣<ξ

得∣x-2∣<ξ/5<ξ；因此存在δ=ξ，当∣x-2∣<δ时就恒有∣(5x+2)-12∣<ξ.

故

Answer 2

证题的步骤基本为：
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）为了方便，可让ε值适当减少），取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε），于是
对于任意给定的ε>0,都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时，函数f(x）有极限A
例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1
证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1
说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求

Answer 3

用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是：
任意给定ε>0，要使
|(1+x³)/(2x³)-(1/2)| = (1/2)|1/x³| < ε，
只须 |x| > 1/[³√(2ε)]，取 X = 1/[³√(2ε)]> 0，则当 |x| > X 时，就有
|(1+x³)/(2x³)-(1/2)| = (1/2)|1/x³| < (1/2)(1/X³) = ε，
根据极限的定义，得证。