Question

级数 (√n+1-√n-1)/n^p 收敛,求p的范围

级数1到无穷时 (√n+1-√n-1)/n^p 收敛,求p的范围

Answer 1

∵√(n+1)-√(n-1)=2/[√(n+1)+√(n-1)]，当n→∞时，2/[√(n+1)+√(n-1)]~1/√n，
∴级数∑[√(n+1)-√(n-1)]/n^p与级数级数∑1/n^(p+1/2)具有相同的敛散性。
而，∑1/n^(p+1/2)是p=级数，∴当p+1/2>1，即p>1/2时，收敛；当p+1/2≤1，即p≤1/2时，发散。
∴p>1/2时，级数∑[√(n+1)-√(n-1)]/n^p收敛；p≤1/2时，级数∑[√(n+1)-√(n-1)]/n^p发散。
供参考。

追问

当n→∞时，2/[√(n+1)+√(n-1)]~1/√n，
∴级数∑[√(n+1)-√(n-1)]/n^p与级数级数∑1/n^(p+1/2)具有相同的敛散性。
这两步是怎么来的呢？有些没看明白，n→∞时，2/[√(n+1)+√(n-1)]这个不是应该趋向0吗

追答

设un=2/[√(n+1)+√(n-1)]，vn=1/√n，∴lim(n→∞)un/vn=1。∴un与vn是等价的。

∴级数∑[√(n+1)-√(n-1)]/n^p与级数级数∑1/n^(p+1/2)是等价的，即具有相同的敛散性。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示