f(x)=eˣ(3x-4)+ax+4a
f'(x)=eˣ(3x-4)+3eˣ+a=eˣ(3x-1)+a
f''(x)=eˣ(3x-1)+3eˣ=eˣ(3x+2)
f''(x)≥0→x≤-⅔
f'(x)单调递增 f'(x)≥f(-⅔)
当f(-⅔)=-3e^(-⅔)+a≥0时,即a≥3e^(-⅔)时 f'(x)≥0
f(x)在x∈(-∞,-⅔]上为增函数
f(1)=-e+5a,由导数的几何意义:切线的斜率=2e+a
切线:y+e-5a=(2e+a)(x-1) 过(1.5,11/2)代入:
5.5+e-5a=e+0.5a→a=1
f(x)=eˣ(3x-4)+x+4
f'(x)=eˣ(3x-1)+1
f''(x)=eˣ(3x+2) x>0时 f''(x)>0→f'(x)单调递增
f'(x)>f'(0)=0→f(x)单调递增
f(x)>f(0)=0
令g(x)=x-(16-3x)eˣ⁻⁴ x≥4
g'(x)=1+3eˣ⁻⁴-(16-3x)eˣ⁻⁴=1-(13-3x)eˣ⁻⁴
再令h(x)=(13-3x)eˣ⁻⁴ x≥4
h'(x)=(10-3x)eˣ⁻⁴<0→h(x)单调递减 h(x)≤h(4)=1
∴g'(x)≥0→g(x)单调递增→g(x)≥g(4)=4-4=0
即x-(16-3x)eˣ⁻⁴≥0→不等式成立。
第三问能详细点么,谢谢
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